Công thức nguyên hàm từng phần
Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm số phức tạp như vừa chứa hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit và hàm vô tỉ, hay hàm mũ,…
Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:
Nguyên hàm từng phần là gì?
Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.
Bạn đang xem: Top 19 uv vdu integration hay nhất 2022
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.
Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta làm như sau:
– Bước 1. Đặt
(trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x))
– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.
Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u.
Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)
Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)
Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Bài tập:
Nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt
Tương tự nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt
Một số dạng nguyên hàng từng phần thường gặp
Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là đa thức.
Theo quy tắc ta đặt
Dạng 2:
trong đó P(x) là đa thức.
Theo quy tắc ta đặt
Dạng 3: I = ∫P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là đa thức
Theo quy tắc ta đặt
Dạng 4:
Theo quy tắc ta đặt
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng sau f(x) = lnx
Lời giải
Dựa theo phương pháp trên, ta làm như sau
Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt
Khi đó:
Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau
với f(x) là một hàm của đa thức.
Phương pháp giải
– Bước 1: Ta tiến hành đặt
– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở trên, ta suy ra
Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx
Lời giải
Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy
Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức dạng
Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ
Tính nguyên hàm của hàm số mũ A=∫f(x)eax+b dx với f(x) là một hàm đa thức.
Xem thêm: Thư Giãn Hay Thư Giản – Dãn Hay Giãn Đúng Chính Tả
Phương pháp:
– Bước 1: Ta tiến hành đặt
– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu
Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xexdx
Lời giải
Dựa theo phương pháp trên, ta tiến hành đặt
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác
Lời giải
– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau
– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành
Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây.
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx
Lời giải
Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, bạn hãy làm như sau:
Dựa theo phương pháp trên, ta đặt như sau
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Hãy tính nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ
Các bước giải như sau:
– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau
– Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv–∫vdu
Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt
Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha:
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây I=∫sinx.exdx
Lời giải
Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau:
