Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai phương 1 thương:

Với $a\ge \mathrm{};b>\mathrm{}$ ta có $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$

Lời giải:

a)${\displaystyle \sqrt{\frac{225}{256}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}}=\frac{15}{16}}$

b) ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{},0196}=\sqrt{\frac{196}{10000}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{10000}}=\frac{14}{100}=\mathrm{},14}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

Với $a\ge \mathrm{};b>\mathrm{}$ ta có ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$

Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh

Lời giải:

a) Ta có:

+) $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3.$  
+) $\sqrt{25}-\sqrt{16}$$=\sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}$$=5-4=1$.

Vì $3>1\iff \sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$.

Vậy $\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$

b) Chứng minh rằng: với $a>b>\mathrm{}$ thì $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

+) $\sqrt{a^2}=a$,  với $a\ge \mathrm{}$. 

+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương $a,b$ ta có: $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Lời giải:

Bài ra cho $a>b>\mathrm{}$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b}$ và $\sqrt{a-b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt{a}$ với $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$ 

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương $a-b$ và $b,$ ta sẽ có:

$\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a-b+b}$ 

Suy ra: 

$\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}\iff \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Vậy $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ với $a>b>0.$ 

Cách khác 1: 

Với $a>b>\mathrm{}$ ta có $\{\begin{array}{l}\sqrt{a}>\sqrt{b}\\ a-b>\mathrm{}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sqrt{a}-\sqrt{b}>\mathrm{}\\ \sqrt{a-b}>\mathrm{}\end{array}$ 

Xét $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ , bình phương hai vế ta được ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2<{\left(\sqrt{a-b}\right)}^2$$\iff {\left(\sqrt{a}\right)}^2-2.\sqrt{a}.\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2<a-b$

$\iff a-2\sqrt{ab}+b<a-b$$\iff 2b-2\sqrt{ab}<\mathrm{}$

$\iff 2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)<\mathrm{}$  luôn đúng vì  $\{\begin{array}{l}\sqrt{b}>\mathrm{}\\ \sqrt{b}-\sqrt{a}<\mathrm{}\left(do\mathrm{}<b<a\right)\end{array}$

Vậy $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ với $a>b>0.$

Cách khác 2:

Bài ra cho $a>b>\mathrm{}$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b}$ và $\sqrt{a-b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt{a}$ với $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$

Ta có $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$ là số dương và

${\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2$$=a-b+2\sqrt{b\left(a-b\right)}+b$$=a+2\sqrt{b\left(a-b\right)}$ 

Rõ ràng  $2\sqrt{b(a-b)}>\mathrm{}$ nên ${\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2>a$   (1)

Ta có $\sqrt{a}$ là số không âm và ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

${\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2>{\left(\sqrt{a}\right)}^2$      (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

$\sqrt{{\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2}>\sqrt{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}$

Hay $\left|\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right|>\left|\sqrt{a}\right|$

Hay $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}$

Từ kết quả $\sqrt{a}<\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$, ta có $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$

Bài 32 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính

a) $\sqrt{1{\displaystyle \frac{9}{16}}.5{\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.},01}$

b) $\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$

c) $\sqrt{{\displaystyle \frac{{165}^2-{124}^2}{164}}}$

d) $\sqrt{{\displaystyle \frac{{149}^2-{76}^2}{{457}^2-{384}^2}}}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức đổi hỗn số ra phân số:

                 $a{\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{a.c+b}{c}}$.

+ $\sqrt{a^2}=a$ ,  với $a\ge \mathrm{}$.

+ $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}},$   với  $a\ge \mathrm{},b>\mathrm{}$.

+ $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   với $a,b\ge \mathrm{}$.

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{1{\displaystyle \frac{9}{16}}.5{\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.},01}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1.16+9}{16}}.{\displaystyle \frac{5.9+4}{9}}.{\displaystyle \frac{1}{100}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{16+9}{16}}.{\displaystyle \frac{45+4}{9}}.{\displaystyle \frac{1}{100}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}.{\displaystyle \frac{49}{9}}.{\displaystyle \frac{1}{100}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{49}{9}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{100}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{4^2}}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{3^2}}}.{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{10}^2}}}$

$={\displaystyle \frac{5}{4}}.{\displaystyle \frac{7}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5.7.1}}{\mathrm{4.3.10}}}={\displaystyle \frac{35}{120}}={\displaystyle \frac{7}{24}}.$

b) Ta có

$\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$$=\sqrt{1,44(1,21-\mathrm{},4)}$

$=\sqrt{1,44.0,81}$

$=\sqrt{1,44}.\sqrt{\mathrm{},81}$

$=\sqrt{1,2^2}.\sqrt{\mathrm{},9^2}$

$=1,2.0,9=1,08$.

c) Ta có: 

$\sqrt{{\displaystyle \frac{{165}^2-{124}^2}{164}}}$$=\sqrt{{\displaystyle \frac{(165-124)(165+124)}{164}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{41.289}{41.4}}}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{289}{4}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{{17}^2}}{\sqrt{2^2}}}$ $={\displaystyle \frac{17}{2}}$.

d) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{{149}^2-{76}^2}{{457}^2-{384}^2}}}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{73.225}{73.841}}}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{225}{841}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{{15}^2}{{29}^2}}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{15}{29}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{15}{29}}$.

a) $\sqrt{2}.x-\sqrt{50}=\mathrm{}$

b) $\sqrt{3}.x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$

c) $\sqrt{3}.x^2-\sqrt{12}=\mathrm{}$

d)${\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{5}}}-\sqrt{20}=\mathrm{}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức 

+ $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\left(A;B\ge \mathrm{}\right)$

+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}$ (với $A\ge \mathrm{};B>\mathrm{}$)

+ $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge \mathrm{}\\ -A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<\mathrm{}\end{array}$

Lời giải:

a) $\sqrt{2}.x-\sqrt{50}=\mathrm{}$

$\iff \sqrt{2}x=\sqrt{50}$

$\iff x={\displaystyle \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}}$

$\iff x=\sqrt{{\displaystyle \frac{50}{2}}}$

$\iff x=\sqrt{25}$

$\iff x=\sqrt{5^2}$

$\iff x=5$.

Vậy $x=5$.

b)

 $\sqrt{3}.x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{4.3}+\sqrt{9.3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{4}.\sqrt{3}+\sqrt{9}.\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{2^2}.\sqrt{3}+\sqrt{3^2}.\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=(2+3-1).\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=4\sqrt{3}$

$\iff x=4$.

Vậy $x=4$.

c) 

$\sqrt{3}{x}^2-\sqrt{12}=\mathrm{}$

 $\iff \sqrt{3}{x}^2=\sqrt{12}$

$\iff \sqrt{3}{x}^2=\sqrt{4.3}$

$\iff \sqrt{3}{x}^2=\sqrt{4}.\sqrt{3}$

$\iff x^2=\sqrt{4}$

$\iff x^2=\sqrt{2^2}$

$\iff x^2=2$

$\iff \sqrt{x^2}=\sqrt{2}$

$\iff |x|=\sqrt{2}$

$\iff x=\pm \sqrt{2}$.

Vậy $x=\pm \sqrt{2}$.

d)

${\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{5}}}-\sqrt{20}=\mathrm{}$

$\iff {\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{5}}}=\sqrt{20}$

$\iff x^2=\sqrt{20}.\sqrt{5}$

$\iff x^2=\sqrt{20.5}$

$\iff x^2=\sqrt{100}$

$\iff x^2=\sqrt{{10}^2}$

$\iff x^2=10$

$\iff \sqrt{x^2}=\sqrt{10}$

$\iff |x|=\sqrt{10}$

$\iff x=\pm \sqrt{10}$.

Vậy $x=\pm \sqrt{10}$.

a) $a{b}^2.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{a^2{b}^4}}}$ với $a<\mathrm{},b\ne \mathrm{}$

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{27(a-3{)}^2}{48}}}$ với $a>3$

c) $\sqrt{{\displaystyle \frac{9+12a+4a^2}{b^2}}}$ với $a\ge -1,5$ và $b<0.$

d) $(a-b).\sqrt{{\displaystyle \frac{ab}{(a-b{)}^2}}}$ với $a<b<\mathrm{}$

 Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: 

+ $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ với $a\ge \mathrm{};b>\mathrm{}$

+ $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge \mathrm{}\\ -A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<\mathrm{}\end{array}$

Lời giải:

a) Ta có:

$a{b}^2.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{a^2{b}^4}}}=a{b}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2{b}^4}}}$ $=a{b}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}}}$

$=a{b}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{(b^2{)}^2}}}$ $=a{b}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{|a|.|b^2|}}$

 $=a{b}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{-a{b}^2}}=-\sqrt{3}$.

(Vì $a<\mathrm{}$ nên $|a|=-a$ và $b\ne \mathrm{}$ nên $b^2>\mathrm{}\Rightarrow |b^2|=b^2)$.

b) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{27(a-3{)}^2}{48}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{27}{48}}.(a-3{)}^2}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{27}{48}}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{9.3}{16.3}}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{16}}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{3^2}{4^2}}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{4^2}}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{3}{4}}|a-3|={\displaystyle \frac{3}{4}}(a-3)$.

( Vì $a>3$ nên $a-3>\mathrm{}\Rightarrow |a-3|=a-3)$

c) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{9+12a+4a^2}{b^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3^2+\mathrm{2.3.2}a+2^2.a^2}{b^2}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{3^2+\mathrm{2.3.2}a+(2a{)}^2}{b^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(3+2a{)}^2}{b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{(3+2a{)}^2}}{\sqrt{b^2}}}={\displaystyle \frac{|3+2a|}{|b|}}$

Vì $a\ge -1,5\Rightarrow a+1,5>\mathrm{}$

                      $\iff 2(a+1,5)>\mathrm{}$ 

                      $\iff 2a+3>\mathrm{}$

                      $\iff 3+2a>\mathrm{}$

                      $\Rightarrow |3+2a|=3+2a$

Vì  $b<\mathrm{}\Rightarrow |b|=-b$ 

Do đó: ${\displaystyle \frac{|3+2a|}{|b|}}={\displaystyle \frac{3+2a}{-b}}=-{\displaystyle \frac{3+2a}{b}}$.

Vậy $\sqrt{{\displaystyle \frac{9+12a+4a^2}{b^2}}}=-{\displaystyle \frac{3+2a}{b}}$.

d) Ta có:

$(a-b).\sqrt{{\displaystyle \frac{ab}{(a-b{)}^2}}}=(a-b).{\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a-b{)}^2}}}$

$=(a-b).{\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}}$

$=(a-b).{\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}}=-\sqrt{ab}$.

(Vì $a<b<\mathrm{}$ nên $a-b<\mathrm{}\Rightarrow |a-b|=-(a-b)$ và $ab>\mathrm{}).$

Bài 35 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm $x$, biết: 

a) $\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=9$

b) $\sqrt{4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1}=6$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ đưa phương trình về dạng $\left|A\right|=m\left(m\ge \mathrm{}\right)\iff [\begin{array}{l}A=m\\ A=-m\end{array}$

Lời giải:

Ta có: 

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=9\iff \left|x-3\right|=9$

$\iff [\begin{array}{c}x-3=9\hfill \\ x-3=-9\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=9+3\hfill \\ x=-9+3\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=12\hfill \\ x=-6\hfill \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=12$ và $x=-6$.

b) Ta có:

$\sqrt{4x^2+4x+1}=6\iff \sqrt{2^2{x}^2+4x+1}=6$

$\iff \sqrt{(2x{)}^2+2.2x+1^2}=6$

$\iff \sqrt{(2x+1{)}^2}=6$

$\iff |2x+1|=6$

$\begin{array}{rl}& \iff [\begin{array}{c}2x+1=6\hfill \\ 2x+1=-6\hfill \end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}2x=6-1\hfill \\ 2x=-6-1\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}2x=5\hfill \\ 2x=-7\hfill \end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \\ x={\displaystyle \frac{-7}{2}}\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ và $x={\displaystyle \frac{-7}{2}}$.

Bài 36 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?