Với cách giải các dạng toán về Giới hạn của dãy số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Giới hạn của dãy số lớp 11. Mời các bạn đón xem:
Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a) Dãy số có giới hạn 0
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.
Bạn đang xem: Giải bài tập giới hạn của dãy số
Kí hiệu: limn→∞un=0hay lim un = 0 hay un→0khi n→+∞.
b) Dãy số có giới hạn hữu hạn
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0
Kí hiệu: limn→∞un=Lhay lim un = L hay un→Lkhi n→+∞.
c) Dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số (un) có giới hạn là +∞khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu:limun=+∞ hoặcun→+∞ khi n→+∞
Dãy số (un) có giới hạn là -∞ khi n→+∞, nếulim−un=+∞
Ký hiệu:limun=−∞ hoặc un→−∞ khi n→+∞
d) Một vài giới hạn đặc biệt
limun=0⇔limun=0
lim1n=0; lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*
limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*
limqn=0 khi q1+∞ khi q>1
e) Định lý về giới hạn hữu hạn
* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có:
lim(un + vn) = a + b
lim(un – vn) = a – b
lim(un vn) = a.b
limunvn=ab,b≠0
lim(cun ) = c.a
lim|un | = |a|
limun3=a3
Nếu un≥0với mọi n thì a≥0và limun=a.
* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn):
Nếuvn≤un≤wn, ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a.
Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn):
Nếu un≤vn, ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.
f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)
Nếu limun=L≠0, limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)
|
lim un = L |
lim vn |
lim (unvn) |
|
+ |
+∞ | +∞ |
|
+ |
-∞ | -∞ |
|
– |
+∞ | -∞ |
|
– |
-∞ | +∞ |
* Quy tắc tìm giới hạn thương
|
lim un = L |
lim vn |
Dấu của vn |
limunvn |
|
L |
±∞ |
Tùy ý |
|
|
L > 0 |
+ |
+∞ | |
|
– |
-∞ | ||
|
L |
+ |
-∞ | |
|
– |
+∞ |
g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| S=u1+u1q+u1q2+….=u11−q q1
2. Các dạng toán
Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt
Phương pháp giải:
Sử dụng các giới hạn đặc biệt:
limun=0⇔limun=0
lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*
limqn=0khi q1+∞khi q>1
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a)lim1n2
b)lim1n2+n+3
c)lim1nn
Lời giải
Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:
a)lim1n2=0
b)lim1n2+n+3=0
c)lim1nn=0
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a)lim12n
b)lim54n+1
c) lim (-0,999)n
Lời giải
a) lim12n=0 vì121
b) lim54n+1=+∞ vì54>1
c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức
Phương pháp giải:
Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất).
Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.
Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:
limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi q1+∞ khi q>1
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n
b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1
c)lim2nn+1n2+2n−3
Lời giải
a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4
=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0
Vìlim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 và lim1n3=0.
b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1
=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0
Vì lim−5−7n=lim4−7n=0
c)lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2
=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0
Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:limn3+3n23−n
Lời giải
Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức
Phương pháp giải:
Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.
Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)
Nếu limun=L≠0, limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)
|
lim un = L |
lim vn |
lim (unvn) |
|
+ |
+∞ | +∞ |
|
+ |
-∞ | -∞ |
|
– |
+∞ | -∞ |
|
– |
-∞ | +∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
a)lim2n−n3+2n−2
b)limn2−n4n+1
Lời giải
Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức
Phương pháp giải:
Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)
Nếu limun=L≠0, limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)
|
lim un = L |
lim vn |
lim (unvn) |
|
+ |
+∞ | +∞ |
|
+ |
-∞ | -∞ |
|
– |
+∞ | -∞ |
|
– |
-∞ | +∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a)lim2n4−3n3+2n3+2
b)lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.
Lời giải
Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp
Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếuvn≤un≤wn, ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a
Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn, ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a)lim−1nn+4
b)lim−1n2n+1−13n+1
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a)limsin2nn+2
b)lim1+cosn32n+3
Lời giải
Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi
Phương pháp giải:
Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn
Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.
Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.
Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn vàun:u1=1un+1=2un+3un+2, n∈ℕ*
Lời giải
Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a
Suy raa=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3
Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0 ∀n∈ℕ* nêna>0⇒a=3
Vậy limun=3.
Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un, n∈ℕ*.
Lời giải
Vìu1=2>0; un+1=2+un>0
Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a
Suy ra a=2+a⇔a2=a+2
⇔a2−a−2=0⇔a=−1 (Loại)a=2
Vậy lim un = 2.
Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn
Phương pháp giải:
* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)
* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.
* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếuvn≤un≤wn, ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a
Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn, ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a)lim11.3+13.5+…+12n−12n+1
b)lim1+2+3+4+…+n1+3+32+33+…+3n.n+1
Lời giải
b)L=lim1+2+3+4+…+n1+3+32+33+…+3n.n+1
Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1.
Tổng n số hạng của cấp số cộng:Sn=u1+unn2=1+nn2.
Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3; 32; 33; …; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3.
Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân:Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.
Khi đó:L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1
Vì n3n+1−1=n3.3n−1n3n2n3n=23n vàlim23n=0
NênL=limn3n+1−1=0
(Bằng quy nạp ta luôn có n2n, ∀n∈ℕ*và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n
Lời giải
Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:S=u1+u1q+u1q2+….=u11−q q1
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính tổng
a)S=1+12+14+18+…
b)S=1+0,9+0,92+0,93+…
Lời giải
a) S=1+12+14+18+…là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q=12.
Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.
b) S=1+0,9+0,92+0,93+…là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.
Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.
Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
a) a = 0,32111…
b) b = 2,151515…
Lời giải
a) Ta cóa=0,32111…=32100+1103+1104+1105+…
Vì 1103+1104+1105+… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1103vàq=110
Nên b=32100+11031−110=289900.
b) Ta cób=2,151515…=2+15100+151002+151003+…
Vì 15100+151002+151003+… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=15100vàq=1100
Nên b=2+151001−1100=7133.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. lim1n3=0.
B. lim−1nn2=0.
C. lim1n3=−1.
D. lim1n=0.
Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A. 43n.
B. −43n.
C. −53n.
D. 13n.
Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A. limn2−2n5n+5n2.
B. lim1−2n5n+5.
C. lim1−2n25n+5.
D. lim1−2n5n+5n2.
Câu 4. Tính giới hạn limsinn!n2+1bằng
A. 0.
B. 1.
C. +∞.
D. 2.
Câu 5. Cho dãy số (un) với un=1+3+5+…+2n−13n2+4. Khi đó lim un bằng
A. 13.
B. 0.
C. 23.
D. 1.
Câu 6. Cho dãy số (un) với un=11.2+12.3+….+1nn+1. Khi đó lim un bằng
A. 2.
B. 1.
C. 32.
D. Không có giới hạn.
Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23bằng:
A. +∞.
B. -∞.
C. -1.
D. 0.
Câu 8. Tính limn+4n2−n33bằng:
A. -43.
B. +∞.
C. 43.
D. -4.
Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5nbằng:
A. 23.
B. -16.
C. 17.
D. -23.
Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?
A. lim2n+31−2n.
B. lim2n+1n−32n−2n3.
C. lim1−2n2n2+2n.
D. lim2n+13.2n−3n.
Xem thêm: Từ Điển Anh Việt ” Perfume Là Gì ? Bật Mí Các Thông Tin Cần Biết Về Fragrance
Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3với mọi n≥1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:
