Bạn đang xem: Chuyên de hằng đẳng thức lớp 8

10 trang

nhung.hl

10877

10Download
Bạn đang xem tài liệu “Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 – Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Xem thêm: Bài Tập Bất Phương Trình Mũ Và Logarit Violet Hay Nhất 2022, Bất Phương Trình Mũ Và Logarit Violet

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNGA. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng: =2. Bình phương của một hiệu: = 3. Hiệu của hai bình phương: 4. Lập phương của tổng: 5. Lập phương của hiệu: 6. Tổng hai lập phương: 7. Hiệu hai lập phương: * Một số hằng đẳng thức tổng quát an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1)a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + + a2k-3b2 –b2k-1)a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 – + b2k)(a + b)n = an + nan-1b + an-2b2++a2bn-2 +nabn-1 + bn(a -b)n = an – nan-1b + an-2b2- -a2bn-2 +nabn-1 – bnBài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :1 2. 3. 4. Bài tập 2. Tính :a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giảia/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ + ( 20052 – 20042) A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 2004 + 2005 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 – 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = B =(232 – 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – 1 – 264 B = – 1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7b/ B = x2 + 8xc/ C = – 2×2 + 8x – 15 Giảia/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x – 2)2 + 3 > 3Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > – 16 Dấu “ =” xảy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.c/ C = – 2×2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x – 2)2 – 7 m với m là một hằng số.Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:Chứng minh A (a+b+c) = 0=> => Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trìnhDạng 4: Chứng minh đẳng thức.DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬBài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 thành phân tử.Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:(x-y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)Bài 2:Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 – z2)3Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =3 – x3 – y3 – z3.= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3.= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.=>x+y+z = a+b+c=>(a+b+c)3 – a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyzDẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:Bài 1: Cho tính P = Từ => => P = Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => Nếu a+b+c = 0 thì A = Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8=> A có 2 giá trị: -1 và 8Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P = Đặt a= xy, b = yz, c =zx.Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xzP = = Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3Ta biến đổi b-c = b-a+a-cTa được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).Vì a+b+c=0 -> A=0Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B =Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức. M=ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0 =Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c=> M = Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thứcA = ;B=Ta có A = vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abcA = B = Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2abTT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2acNên B= ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc-> B = Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: A = Đặt B = Ta có B . = 1 + Tương Tự . B .B. Bậy A = Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3.(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 =>Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0=>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2Vì x;y ÎZ ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1)chỉ xảy ra trường hợp « Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= 0 nên chỉ có thể xảy raTừ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 13Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0Nên x2 +y2 + z2 = 1giả sử x2 y2 z2=>z = 0; y = 0; x = 1Nếu không t/mNếuT/m phương trìnhvà TH: và DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨCBài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc.Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?Ta có a3 +b3+c3 = 3abc Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => Là tam giác đều.Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)= 3(c+d)(ab-cd)Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5.=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 02(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm.C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chấtBài tập 1 : Cho , biếta/ . Tính b/ . Tính a. Xét . Mà b. ( Tương tự ) Xét Bài tập 2: a/ Cho và . Tính b/ Cho và . Tính theo aa/ Ta có: Ta có: Vậy b/ Bài tập 3: Cho và . Tính các biểu thức sau theo aDể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có: Ta tính được Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa sốa/ b/ àc/ d/ e/ f/ Gợi ý:a/ Thay Sau khi thay, ta được b/ Đáp số: c/ Đáp số: d/ Đáp số: e/ Đáp số: f/ Đặt